ધોરણ-8 એકમ-3–ચતુષ્કોણની સમજ ચતુષ્કોણના પ્રકાર અને લક્ષણો
વિષય વસ્તુ
ચતુષ્કોણના પ્રકાર અને લક્ષણો
પ્રસ્તાવનાઃ
આપણી આસપાસ અનેક આકારની વસ્તુઓ જોવા મળે છે. એકાદ મિનિટ આંખ બંધ કરીને વિચારીએ તો પુસ્તક, ફોટોની ફ્રેમ, ટાઇલ્સ, બારી, બંગડી, થાળી, ડિશ જેવી વસ્તુઓ દેખાશે. દરેકનો કોઇ ચોક્કસ આકાર છે. અહીં આપણે ચોરસ, લંબચોરસ ત્રિકોણ અને વર્તુળ જેવા આકારો જેવા જ આકાર ચતુષ્કોણ વિશે જાણકારી મેળવીશું. જેમાં ચતુષ્કોણના વિવિધ પ્રકારો તથા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ અને વિશિષ્ટ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પણ સમજૂતી મેળવીશું.
શીખવાનો હેતુઃ
હું શિક્ષક તરીકે મારા વર્ગના વિદ્યાર્થીઓને ચતુષ્કોણના પ્રકારોની કેવી રીતે આપીશ ?
હું શિક્ષક તરીકે મારા વર્ગના વિદ્યાર્થીઓને વિશિષ્ટ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સમજ કેવી રીતે આપીશ ?
અધ્યયન નિષ્પત્તિ:
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિવિધ ગુણધર્મો ચકાસે છે તથા તર્કના આધારે તેમની વચ્ચેના પારસ્પરિક સંબંધો સ્થાપિત કરે છે.
પૂર્વ તૈયારીઃ
વિદ્યાર્થીઓને ચોરસ, લંબચોરસ, ત્રિકોણ, વર્તુળની પ્રાથમિક માહિતી આપવી. આ માટે દરેકના એકથી વધુ કટીંગ્સ રાખી દરેક આકૃતિને અલગ કરાવવાની પ્રવૃત્તિ કરાવીશ.
બહુકોણો પૈકી બહિર્મુખ અને અંતર્મુખ બહુકોણનો પરિચય આપીશ.
નિયમિત અને અનિયમિત બહુકોણનો પરિચય આપીશ.
વિષયવસ્તુની વ્યાખ્યા/સમજઃ
બહુકોણ – ફક્ત રેખાખંડોને જોડવાથી બનતા સાદા બંધ વક્રને બહુકોણ કહે છે.
બહિર્મુખ બહુકોણ – જે બહુકોણના વિકર્ણો બહુકોણનો બહિભોગ ન હોય તેને બહિર્મુખ બહુકોણ કહે છે.
અંતર્મુખ બહુકોણ – જે બહુકોણના વિકર્ણો બહુકોણનો બહિભોગ હોય તેને અંતર્મુખ બહુકોણ કહે છે.
નિયમિત અને અનિયમિત બહુકોણ – જે બહુકોણ સમબાજુ અને સમકોણીય હોય તેને નિયમિત બહુકોણ કહે છે. જે બહુકોણ સમબાજુ અને સમકોણીય ન હોય તેને અનિયમિત બહુકોણ કહે છે.
ચતુષ્કોણના પ્રકારોઃ
સમલંબ ચતુષ્કોણ- જે ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની ફકત એક જ જોડ સમાંતર હોય તેને સમલંબ ચતુષ્કોણ કહે છે.
પતંગાકાર ચતુષ્કોણ- જે ચતુષ્કોણમાં સમાન લંબાઇ ધરાવતી પાસપાસેની બાજુઓની બે અલગ-અલગ જોડ હોય તેને પતંગાકાર ચતુષ્કોણ કહે છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણ- જે ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની બંને જોડ સમાંતર હોય તેને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ કહે છે.
વિશિષ્ટ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણોઃ
સમબાજુ ચતુષ્કોણ- જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો તમામ બાજુઓનાં માપ સમાન હોય તેને સમબાજુ ચતુષ્કોણ કહે છે.
લંબચોરસ- જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના બધા જ ખૂણા કાટખૂણા હોય તેને લંબચોરસ કહે છે.
ચોરસ- જે ચતુષ્કોણની બધી જ બાજુઓનાં માપ સમાન હોય તથા બધા જ ખૂણાના માપ સમાન હોય તેને ચોરસ કહે છે.
તબક્કાવાર પ્રવૃત્તિ:
બહુકોણ – વિદ્યાર્થીઓને નોટબુકમાં રેખાખંડથી બનતા વિવિધ વક્ર દોરવા કહીશ. વિદ્યાર્થીઓએ દોરેલા વક્રોમાંથી કેટલાક હું બોર્ડ ઉપર દોરીશ.
ઉપરની આકૃતિઓ બોર્ડ પર દોર્યા બાદ હું સમજાવીશ કે આકૃતિ – 1,2,3 એ સાદા બંધ વક્ર છે, જ્યારે 4 અને 5 બંધ વક્ર છે પણ સાદા બંધ વક્ર નથી. આકૃતિ-6 એ વક્ર છે પણ બંધ વક્ર નથી.
હવે હું બહુકોણની વ્યાખ્યા આપીશ કે ફક્ત રેખાખંડોને જોડવાથી બનતા સાદા બંધ વક્રને બહુકોણ કહે છે. આ મુજબ આકૃતિ – 1, 2 અને 3 એ બહુકોણ છે, જ્યારે આકૃતિ 4, 5 અને 6 એ બહુકોણ નથી. હવે હું વિદ્યાર્થીઓને આ વ્યાખ્યાને આધારે તેમના દોરેલા વક્રોમાંથી બહુકોણ અલગ શોધવા જણાવીશ.
બહિર્મુખ બહુકોણ અને અંતર્મુખ બહુકોણ – એકવાર ફરીથી વિદ્યાર્થીઓને નોટબુકમાં વિવિધ બહુકોણ દોરવા કહીશ. વિદ્યાર્થીઓએ દોરેલા વક્રોમાંથી કેટલાક હું બોર્ડ ઉપર દોરીશ. જેમકે,
ઉપરની આકૃતિઓ બોર્ડ પર દોર્યા બાદ હું બાળકોને તેમાં શક્ય તેટલા વિકર્ણો દોરવાનું જણાવીશ.
તેના પરથી બાળકોને એવો પ્રશ્ન પૂછીશ કે કયા કયા બહુકોણમાં તમામ વિકર્ણો બહુકોણના અંતર્ભોગમાં છે ? કયા કયા બહુકોણમાં વિકર્ણ બહુકોણના બહિર્ભાગમાં પણ જાય છે ?
આકૃતિમાં વિકર્ણો દોરતાં માલૂમ થાય છે આકૃતિ 1, 3 અને 5 માં તમામ વિકર્ણો બહુકોણના અંદરના ભાગમાં જ છે તથા આકૃતિ 2, 4 અને 6 માં વિકર્ણોનો કેટલોક ભાગ અથવા આખો વિકર્ણ બહારના ભાગમાં છે.
આથી અહીં આકૃતિ – 1, 3 અને 5 બહિર્મુખ બહુકોણ તથા આકૃતિ – 2, 4 અને 6 એ અંતર્મુખ બહુકોણ છે.
બાળકોને સમજાવીશ કે જે બહુકોણો બહિર્મુખ હોય છે તેમના વિકર્ણોનો કોઇપણ ભાગ બહુકોણના બહિર્ભાગમાં હોતો નથી.
નિયમિત અને અનિયમિત બહુકોણ
વિદ્યાર્થીઓએ અગાઉ નોટબુકમાં દોરેલ બહુકોણો પરથી બાળકોને પ્રશ્ન પૂછીશે કે તમે દોરેલ બહુકોણોમાં એવા બહુકોણ તારવો કે જેની બધી જ બાજુઓનાં માપ સમાન હોય તથા તમામ ખૂણાઓ એકરૂપ હોય આવા બહુકોણો નિયમિત બહુકોણ કહેવાય છે.
તથા જે બહુકોણની બધી જ બાજુઓનાં માપ સમાન ન હોય તથા ખૂણાઓ એકરૂમ ન હોય તેને અનિયમિત બહુકોણ કહે છે.
જેમકે,
નિયમિત બહુકોણ અનિયમિત બહુકોણ
ચાર રેખાખંડોથી બનતા બહુકોણને ચતુષ્કોણ કહે છે.
ચતુષ્કોણના પ્રકારોઃ
સમલંબ ચતુષ્કોણ- બાળકોના કંપાસ બોક્સમાંથી ઘણા બધા કાટખૂણિયા ભેગા કરી તેમાંથી બાળકોને અલગ-અલગ ચતુષ્કોણ બનાવવાનું કહીશ. બાળકોને ચાર કાટખૂણિયાની મદદથી એવો ચતુષ્કોણ બનાવવાનું કહીશ કે જેની સામસામેની બાજુઓની ફક્ત એક જ જોડ પરસ્પર સમાંતર હોય.
આ ગુણધર્મ પરથી બાળકો નીચે મુજબના ચતુષ્કોણ બનાવી શકે છે.
ઉપરની આકૃતિઓનો બોર્ડ પર દોરીશ અને બાળકોને સમજાવીશ કે, ત્રણેય આકૃતિઓમાં ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની બે જોડમાંથી એક જ જોડ સમાંતર છે, બાજુઓની બીજી જોડ અને એકબીજાને સમાંતર નથી. આવા ચતુષ્કોણને સમલંબ ચતુષ્કોણ કહે છે.
પતંગ (પતંગાકાર ચતુષ્કોણ) – નીચે મુજબના ચાર ચતુષ્કોણ બોર્ડ પર દોરી બાળકને પ્રશ્ન પૂછીશ કે કયા ચતુષ્કોણનો આકાર પતંગ જેવો છે ?
સ્વાભાવિક રીતે જ બધા જ બાળકોનો જવાબ સરખો જ હશે. તમામ બાળકોનો જવાબ-2 હશે.
બાળકને સમજાવીશ કે 2-નંબરનો ચતુષ્કોણ એ પતંગાકાર ચતુષ્કોણ છે. તેમાં સમાન લંબાઇવાળી પાસ પાસેની બાજુઓની બે અલગ-અલગ જોડ હોય છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ–વર્ગખંડના તમામ બાળકોને દિવાસળીની સળીઓમાંથી ચતુષ્કોણ બનાવવા આપીશ. બાળકોને સૂચના આપીશ કે એવો ચતુષ્કોણ બનાવવાને કે જેની સામસામેની બાજુઓની બંને જોડ સમાંતર થાય.
દરેક બાળકના ચતુષ્કોણ ચેક કરીશ અને એમાંથી અમુકને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બોર્ડ પર દોરીશ.
બોર્ડ પર દોરેલા ચતુષ્કોણની બાજુઓ અને ખૂણાઓને માપી તેમના માપના આધારે નીચેના પ્રશ્નોની ચર્ચા કરીશ.
ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓનાં માપ કેવાં છે ?
સામસામેના ખૂણાઓનાં માપ કેવાં છે ?
પાસપાસેના ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો કેટલો થાય છે ?
ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને બે સરખાં ભાગમાં વહેંચે છે તે ચકાસો.
આજુબાજુના પરિસરમાં સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ક્યાં-યાં જોવા મળે છે તેની નોંધ તૈયાર કરો.
વિશિષ્ટ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણઃ
સમબાજુ ચતુષ્કોણ- બાળકોને નોટબુકમાં એવા ચતુષ્કોણ દોરવા આપો કે જેની તમામ બાજુઓ સમાન માપની હોય. બાળકો નીચે મુજબના ચતુષ્કોણ દોરશે.
બાળકોએ દોરેલા ચતુષ્કોણનાં વિકર્ણો દોરાવીશ.
દરેક વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે તે સમજાવવા માટે વિકર્ણો પાસે બનતા ખૂણાના મપાવીશ.
કાગળમાંથી એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ કાપી તેના વિકર્ણો દર્શાવતી ગડીવાળી અને બે વિકર્ણોનું છેદબિંદુ એ જ તે બંને વિકર્ણોનું મધ્યબિંદુ છે અને તે એકબીજાને કાટખૂણે છેદે છે તે કાટખૂણિયાની મદદથી ચકાસવા જણાવીશ.
લંબચોરસ – બાળકોને નોટબુકમાં એવો ચતુષ્કોણ દોરવા આપીશ કે જેના તમામ ખૂણા સરખા માપના થાય. આથી બાળકો નીચે મુજબના ચતુષ્કોણ રચશે. તેમાંથી કેટલાક બોર્ડ ઉપર દોરીશ.
બાળકોએ દોરેલા ચતુષ્કોણના દરેક ખૂણાનું માપ કેટલું છે ? તે પૂછતાં બાળકો જવાબ આપશે કે દરેક ખૂણો 90° ના માપનો છે.
આમ, જે ચતુષ્કોણના દરેક ખૂણાનું માપ 90° હોય તેવા ચતુષ્કોણને લંબચોરસ કહે છે.
બાળકોએ બનાવેલા લંબચોરસની તમામ બાજુઓની લંબાઇનું માપન કરાવીશ અને તારણ કઢાવીશ કે સામસામેની બાજુઓની લંબાઇના માપ સમાન હોય છે.
વિકર્ણોની લંબાઇનું માપન કરાવીશ અને સમજાવીશ કે લંબચોરના બંને વિકર્ણોના માપ સમાન છે.
ચોરસ – અગાઉની પ્રવૃત્તિમાં બાળકોએ કાપેલા અલગ-અલગ લંબચોરસમાં એવો લંબચોરસ શોધવાનું કહીશ કે જેની તમામ બાજુઓની લંબાઇના માપ સમાન હોય.
અગાઉ બોર્ડ પર દોરેલ ત્રણ લંબચોરની આકૃતિ પૈકી ત્રીજા નંબરની આકૃતિમાં બધી જ બાજુઓ સમાન માપની છે. તેને ચોરસ કહેવાય છે.
ચોરસ એટલે સરખા માપવાળી બાજુ ધરાવતો લંબચોરસ.
એટલે જે “જે ચતુષ્કોણની તમામ બાજુઓમાં માપ સમાન હોય તથા તમામ ખૂણા કાટખૂણા હોય તેવા ચતુષ્કોણને ચોરસ કહે છે.”
અહીં નીચે કેટલાક ચોરસ આપેલ છે તેવા ચોરસ બોર્ડ પર દોરીશ.
બાળકોને ચોરસના ગુણધર્મોથી પરીચીત કરીશ, જેમ કે,
ચોરસમાં તમામ બાજુઓનાં માપ એકસરખા હોય છે.
ચોરસમાં તમામ ખૂણાઓનાં માપ એકસરખા હોય છે જેનું માપ 90° હોય છે.
ચોરસનાં બંને વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે.
ચોરસની સામસામેની બાજુઓ એકબીજાને સમાતર હોય છે.
વીડિયોઃ
બાળકોને અલગ-અલગ પ્રકારના ચતુષ્કોણના કટીંગ્સ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ, લંબચોરસ, ચોરસ, સમબાજુ, ચતુષ્કોણ, પતંગાકાર ચતુષ્કોણ, સમલંબ ચતુષ્કોણમાં વર્ગીકરણ કરવા આપીશ.
નીચે આપેલ ચતુષ્કોણના ગુણધર્મો પરથી ચતુષ્કોણને ઓળખી તે પ્રકારે નોટબુકમાં ચતુષ્કોણ દરાવીશ.
સામસામેની બાજુઓની પ્રત્યેક જોડ સમાંતર હોય.
તમામ બાજુઓની લંબાઇ સમાન હોય.
તમામ ખૂણા કાટકોણ હોય.
વિકર્ણોની લંબાઇ સમાન હોય.
પાસપાસેની બાજુઓની ફક્ત બે જોડ સમાન લંબાઇની હોય.
સામસામેનાં ખૂણાનાં માપ સમાન હોય.
